Educarea adolescentilor miopi

Pornind la a ma documenta asupra suferintelor si nevoilor tineretului contemporan am dat peste un fragment absolut ilustrativ (eu am obiceiul sa ma documentez asupra problemelor celor de azi citind carti vechi de-o suta de ani sau pe-acolo, excentricitate care-mi serveste mai bine decit v-ati inchipui). Am de gind sa vi-l reproduc dinjos :

Fireşte, m-a chemat cel dintâi la tablă, cu toate că nu eram singurul neascultat din clasă. Am păşit demn, cu caietul, cu creta şi buretele. Nu voiam ca ceilalţi să afle că mi-e teamă de Vanciu. De altfel, cum mă apropii de tablă, mă liniştesc. Panica piere din senin. Privesc calm ochii profesorului şi, când şi-i pleacă în caiet, zâmbesc îngăduitor celor din bănci.

- Câte probleme am avut?
- Patru.
- Unde sunt?
- N-am putut să le fac pe toate, răspund eu umilit şi cântărind dispreţul privirilor lui Vanciu.
- Fă-o atunci pe prima. Ştii enunţul?...

Nu-l ştiam. Dar am făcut semn că-l ştiu. Vanciu şi-a întors scaunul către mine, şi-a încrucişat braţele şi aştepta. A înţeles, şi a început să-mi dicteze:

- „într-un cerc de rază R, zona născută de un arc, când cercul se învârteşte în jurul unui diametru care trece printr-o extremitate a arcului, are ca bază un cerc, a cărui suprafaţă este egală cu sfertul zonei. Să se calculeze înălţimea zonei."

Nu ştiam de unde să încep. Nu pricepeam nimic şi nici nu mă puteam gândi la problemă. îmi fixasem privirea pe cele câteva cifre scrise la colţul tăbliei şi începui a-mi frământa figura, ca să creadă Vanciu că-mi frământ mintea.

Ceva imi spune ca exceptind un minuscul contingent de ingineri calificati in aceasta profesiune, mai nimeni nu-i capabil sa priceapa ori sa rezolve aceasta problema, ceea ce-i destul de trist, dat fiind ca ea nu-i chiar la nivelul examenului de maturitate. Sa incercam deci a remedia aceasta raminere in urma.

In primul rind, sa ne lamurim ce ne cere problema. Inchipuiti-va un cerc, ca de exemplu inelul de cauciuc atasat la capatul deschis al unui preservativ. Inchipuiti-va un diametru, ca de exemplu sub forma unui ac de cusut care strapunge inelul trecindu-i prin centru. Evident, daca realizam aceast prototip in practica ne putem juca cu el, rotindu-l dupa axa constituita de ac (si de asemenea ne revine obligatia de a nu-l mai folosi in scopul caruia i-a fost initial destinat).

Daca ne apucam si coloram cu un marker o sectiune din inelul prezervativului, de la ac incolo, atunci la invirteala aceasta sectiune va descrie o asa numita calota sferica, oarecum asemanatoare cu o sapca de-aia cum au evreii, sau Papa. aceasta calota sferica data prin faina si asezata pe o suprafata plana oarecare (de exemplu o masa) va lasa o urma in forma de cerc, sub forma bazei sale, partea pe care se sprijina.

Ei, problema ne cere sa aflam cit de mare trebuie sa fie partea din inelul prezervativului pe care-o coloram, asa fel incit suprafata cercului din faina sa fie egala cu un sfert din suprafata prezervativului marginita de portiunea colorata. Ne-am lamurit ? Daca nu ne-am lamurit, intrebati la comentarii, ca intr-un final tot ne-om lamuri.

In al doilea rind, sa purcedem la a rezolva problema. In primul rind, e destul de clar ca daca luam si vopsim fix jumatate din cerc, atunci "aria zonei" va fi egala cu jumatate din aria cercului cel de raza R. In schimb, aria cercului cel construit prin rotatie va fi fix egala cu aria cercului cel de raza R, in virtutea faptului ca ambele au exact acelasi diametru, si deci sunt cercuri egale. Deci, zona este jumatate din cercul construit, si noua ne face trebuinta dimpotriva, cercul sa fie de patru ori mai mic decit zona. Este deci prea mult sa vopsim jumatate din cerc.

Sa incercam cu mai putin. Daca luam de exemplu o coarda egala cu raza, ne rezulta un triunghi echilateral inscris in cercul cel de raza R, cu unul dintre virfuri la centrul cercului si celelalte doua virfuri marginile bucatii de cerc vopsite. Asa o zona ar avea o suprafata egala cu 1/6 din suprafata cercului de raza R, in virtutea faptului ca pe de-o parte suma unghiurilor intr-un triunghi este de 180 de grade, si triunghiul echilateral avind unghiuri egale rezulta deci ca are trei unghiuri de cite 60 de grade fiecare, iar pe de cealalta ca cercul are 360 de grade cu totul. Cum 60 = 1/6 din 360, aia e.

Aria cercului construit, in schimb, care are diametrul egal cu raza cercului de raza R va fi... pai aria cercului fiind 2 x pi x raza la patrat, si cum raza este 1/2 diametru... clar, aria cercului construit va fi 1/4 din aria cercului de raza R. In concluzie, si asta-i prea mare, pentru ca 1/6 din A(R) fata de 1/4 din A(R) tot nu se afla in proportia de 1:4 pe care ne-o dorim noi.

Daca injumatatim coarda aleasa ? Pai atunci, suprafata zonei se injumatateste si ea, devenind deci 1/12 din aria cercului de raza R, iar suprafata cercului construit scade pina la a fi 1/16 din aceeasi arie a cercului de raza R (dat fiind ca acum nu mai vorbim de 1/2 ci de 1/4 la raza, si 1/4 ridicat la patrat e 1/16). Ei, 1/12 fata de 1/16 tot este prea mult, noi avem nevoie sa fie un sfert.

Daca injumatatim inca o data coarda aleasa ? Pai, zona devine 1/24 din aria cercului de raza R, iar aria cercului construit scade pina la a fi 1/64 (1/8 la patrat). Deja ne apropiem, ca 1/24 e aproape de trei ori mai mare decit 1/64. Sa mai injumatatim o data. Zona devine 1/48 din aria cercului de raza R, iar aria cercului construit devine 1/256 (1/16 la patrat). Deja am trecut, ca 48 x 4 = 192, ceea ce-i mai putin decit 256.

Deci, trebuie sa injumatatim coarda undeva intre de 3 si de 4 ori. Undeva intre 60 de grade / 8 (= 7,5 grade) si 60 de grade / 16 (= 3,75 grade) se afla si solutia noastra. Intrucit [voi nu stiti dar va spun eu] sinusul se poate aproxima la unghiuri mici ca fiind egal cu unghiul, calculam proportiile direct : 64 / 24 e 2,66 iar 256 / 48 = 5,33. Cum 4 cade la jumatatea distantei intre 2,66 si 5,33, rezulta de-aici ca ne vom opri la jumatatea distantei intre 7,5 si 3,75 grade.

Si deci inaltimea zonei va fi 5,625 grade, sau aproximativ 0,1 radiani. Si iata cum ati invatat nu doar mai multa matematica decit stia Mircea Eliade (la 17 ani), ci si cum si pentru ce sunt utile metodele numerice.

V-a placut ?