Hai sa numaram

Daca se dau doi saci cu grau si se pune problema de-a afla in care sac se afla mai multe boabe, singura metoda corecta e sa se insire bobii de grau unul langa altul : unul din primul sac langa altul din al doilea sac. Formand astfel perechi, golim incet incet sacii, si boabele care raman desperecheate indica in care sac erau mai multe.

Chestia asta n-are aparent mare utilitate practica, pentru ca ne-am invatat sa numaram. Sa retinem insa ca si pentru o fiinta incapabila sa numere, problema de-a afla in care sac sunt mai multe boabe e rezolvabila : pur si simplu creeaza grupuri, adica relatii biunivoce, si verifica daca raman elemente nerelationate.

Noi folosim numerele ca un mijloc intermediar, si anume, numaram sacul A, adica, fiecarui bob din sacul A ii acordam o relatie cu un simbol, care devine simbolul (adica numarul) lui, pana cand epuizam boabele. Dupa care facem acelasi lucru cu sacul B. Cele doua simboluri finale, adica, simbolul ultimului bob din sacul A, si simbolul ultimului bob din sacul B devin cardinalele celor doi saci, adica ajung sa simbolizeze numarul total de boabe din fiecare sac.

Relatia intre obiecte numarabile si numere nu-i diferita deloc de relatia intre obiecte transferabile si bani. Banii sunt numarul obiectelor, un mediu abstract, simbolic, care ne ingaduie sa comparam totaluri fara nevoia de-a alatura obiecte unul langa altul, in siruri nesfarsite, ca niste cartite decerebrate.

Din fericire, sistemul simbolic pe care-l constituie numerele nu-i pur si simplu aleator ales, nu folosim drept simboluri ce ne trece prin cap, insiruirea "albastru, compik, latra, XWWG, 7u*, paine, clant" nu-i o numaratoare. Din contra, sistemul respectiv are niste reguli generatoare, simbolurile sunt in total zece, functie de pozitia lor relativa ele descriu grupuri de ele insasi, de exemplu in simbolul "73" notam situatia in care avem de 7 ori grupuri de cate 10, plus inca 3 dintr-un al 8-lea grup incomplet, in timp ce din contra, cu 37 notam situatia in care avem de 3 ori grupuri de cate 10, plus inca 7 dintr-un al 4-lea incomplet.

Acest aranjament ne ingaduie sa avem la dispozitie un numar infinit de simboluri pentru a numara orice. Asta-i foarte util, pentru ca singurul lucru rau care se poate intampla unui mediu simbolic de reprezentare e sa se termine. Daca pe la jumatatea sacului A ni se termina numerele, tot ce putem spune despre cei doi saci e ca au "multe" boabe, ori asta nu serveste la mai nimic.

Problema este ca odata introdus sistemul simbolic, se pot executa operatiuni pur simbolice, pentru a aduna 4 cu 5, nu-i neaparat nevoie sa existe practic in fata ochilor un sac cu 4 bile si-alt sac cu 5 bile, puse impreuna. Putem proceda imaginar, si daca putem, o vom chiar face, c-asa-i construita mintea umana. Si vom zice ca-i chiar un lucru bun, practica pentru cazul cand cine stie, se va chiar intampla sa avem cei doi saci in fata. Ne antrenam, deci.

Sigur, aceasta inclinatie a mintii omului pentru vietuirea in simbolic ne creeaza tot soiul de probleme. Spre exemplu, nu putem sedea linistiti pe un scaun. Dar sa trecem. Odata ce se poate reprezenta situatia adunarii sacilor, ne punem alte probleme. Oare daca dintr-un sac cu 4 bile se scot 5 bile, ce se intampla ? Pai, lipseste o bila. Si notam asta cu -1, introducem o noua notatie. Dar ce-i aia "-1" bila ? Pai nimic, practic. E o abstractiune.

Oare poate exista un sac, in care sa se afle 4 saci, si in fiecare din cei 4 saci, cate 5 bile ? Sigur ca se poate. Si cate bile ar fi in acel sac ? Pai, le tot numaram pana descoperim inmultirea. 20, frate, 4x5. Si-acu avem un tabel de corespondente, tabla inmultirii, si asta tre' invatat de rost, daca nu ne-am putut vedea de treaba, ne-am facut de lucru. Boon.

Da' acu, daca cele 20 de bile dintr-un sac sunt impartite egal intre alti 4 saci ? Se poate ? Pai se poate. Cate bile vin de sac ? Pai si iara inventam o procedura, aplicata structurii simbolice de reprezentare, impartirea. Si-aici incep problemele. Daca imparteam de fapt 19 bile la cei 4 saci, cate bile ar fi venit ? Pai, 4 bile si-un sfert. 4 bile si-un sfert ?! Ce-i aia ?

Pai, nu-i nimic. E o abstractiune. Nu exista sferturi de bile, cum nu exista lipse de bile, toate astea sunt doar in capul nostru. Asta bineinteles nu ne impiedica cu nimic. Mai ales, nu ne impiedica sa punem urmatoarea problema : Oare care-s mai multe, numerele naturale, adica 1,2,3,4,5 etc sau numerele intregi, adica 1,2,3,4,5 si -1, -2, -3, -4, -5, etc ?

Intrebarea n-are de fapt un referent concret, dar asta n-o face pentru mintea omului invalida. La prima vedere, ar parea ca sunt de doua ori mai multe numere intregi decat numere naturale, pentru ca fiecare numar natural apare de doua ori intre numerele intregi : odata normal si-odata cu -. Ei bine, nu-i asa.

Nu-i asa, si va pot demonstra usor : fie insiruirea in care oricarui numar natural par ii revine un numar natural, in ordine, si fiecarui numar natural impar ii revine un numar natural cu minus, tot in ordine. Este ca avem destule numere naturale pentru a numara numerele intregi ? Este. Noa. Inseamna ca-s la fel de multe. Absurd ? Poate. Adevarat ? Absolut. Asta primiti cand va bateti capul cu chestii fara referent concret : alte chestii fara referent concret. De exemplu, notiunea de "la fel" tocmai v-a suferit o mica remodelare, daca cele doua feluri de numere trebuie de azi incolo sa fie "la fel" de multe.

Dar numerele rationale (adica intregii plus fractiile), sunt ele oare mai multe sau la fel de multe ca si numerele naturale ? Daca in urma lecturii de pana aici, va vine sa spuneti ca-s la fel de multe, gresiti (s-ar zice ca orificiul bietului "la fel" vi s-a dilatat mai mult decat era cazul). In fapt, dovada faptului ca nu-s la fel de multe, ci mai multe se face in felul urmator : Inchipuiti o lista cu toate fractiile zecimale, precum
0,0000001000....
0,0000245050....
etc
0,9999499999....
0,9999959999....
etc
Daca aceasta enumeratie ar fi exhaustiva, atunci se poate construi o fractie zecimala dupa urmatoarea metoda : prima zecimala e diferita de prima zecimala a primului element. A doua e diferita de a doua zecimala a celui de-al doilea element, si tot asa la nesfarsit. Astfel putem obtine o fractie care-i diferita de toate fractiile enumerate, si deci nu se afla in lista, si deci nu se poate crea o corespondenta 1:1 intre numerele naturale si numerele rationale. Si deci nu-s la fel de multe, in sensul ca cele rationale sunt mai numeroase.

Si daca notiunea de numere "rationale" va pare din capul locului suspecta, aflati atunci ca de fapt matematica lucreaza cu corpul numerelor reale, care pentru a fi reale includ intre ele, pe langa numerele rationale, si pe cele irationale (ei, da), si inca pe cele imaginare, care-s o intreaga orga de lumini a lipsei de referent concret sau macar imaginabil.

Sa va fie de pedeapsa.